常言道：“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”。
这是对人多办法多、 人多智慧高的一种赞誉。
但是，当你得知这一富有哲理的话语，可以用概率的理论,定量地加以证明时，你一定会对此深感意外！
为了让你确信这一点，我们先介绍两个事件的独立性概念：如果一个事件的出现与另一个事件的出现无关，我们就说这两个事件是互相独立的。
例如，甲的思维与乙的思维，只要没有预先商讨过，便是独立的；又如，某地有人患肺炎病与患沙眼病，这两件事是互相独立的；再如,两次射击，第一次射击命中与第二次射击命中，也是互相独立的。
假设我们用AB表示事件A与事件B同时发生，那么，当事件A 与事件B 互相独立时，我们有：
P(AB)=P(A)·P(B)
事实上，上面这个结论可以从下图直观地反映出来。
对于3个以上的两两独立事件, 我们有：
P(AB…C)=P(A)·P(B)·…·P(C)
现在回到“三个臭皮匠”的问题。
假定“臭皮匠”A 独立解 决问题的把握为P(A)；“臭皮匠”B 独立解决问题的把握为P(B)；“臭皮匠”C 独立解决问题的把握为P(C)。
如若“臭皮匠”只有两个，那么某一问题能被两者之一解决的可能性有多大呢？
让我们仍从图形的分析开始吧！为方便起见，下中我 们用阴影区域的面积表示相应事件的概率,如图所标。
那么，从 (a)、(b)两图我们立即可看到：
P(A或B)=P(A)+P(B)-P(AB)
注意到“臭皮匠”们对问题的思考是各自独立的。这样，我们又有：
P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)
重复使用上面的公式,能够得到一个问题被三个“臭皮匠” 之一解决的可能性大小的计算式：
P(A或B或C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)- P(B)P(C)-P(C)P(A)+ P(A)P(B)P(C)
例如，P(A)=0.45，P(B)=0.55，P(C)=0.60，即三人的解题把握都大致只有一半，但当他们总体解题时，能被三人之一解出的可能性为 ：
P(A或B或C)=0.45+0.55+0.60-0.45×0.55-0.55×0.60-0.60×0.45+0.45×0.55×0.60=0.901
看！三个并不聪明的“臭皮匠”居然能够解出90%以上的问题，聪明的“诸葛亮”也不过如此！
上面我们是从“臭皮匠”们解题的把握性来分析的。其实，如果从他们不能解决问题的角度来分析，所得的结果将更简洁、更精辟。
事实上，如果一个事件出现的概率为P，那么该事件不出现的概率必定为1-P。
这样，三个“臭皮匠”同时不能解决问题的概率为[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]。
把全部可能的1，减去同时不能解决问题的可能性，当然就得到三者至少有一人解决问题的可能性，即：
P(A 或B 或C)=1-[1-P(A)]·[1-P(B)]· [1-P(C)]
上式展开的结果跟前面的公式是一样的，但保留上面算式在计算上要简单得多。
具体可得：
P(A 或B 或C)=1-(1-0.45)×(1-0.55)×(1-0.60) =1-0.55×0.45×0.40 =0.901
又当“臭皮匠”人数增多时，前一种算法将不胜其繁，而后一 种算法无须变动依然适用。
例如，10个刚参加军训的学生，每人单独射击击中目标的命中率都只有0.3，这样的命中率应该说是很低的了。
但如若他们朝同一个目标射击，那么根据上面的式子，目标被击中的概率为：
也就是说，目标是几乎会被击中的。可见人多不仅智慧高，而且力量也大。
“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”所言并不过分。
来源：《给孩子的数学故事书》
作者：张远南 张昶
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