冰雹猜想：小学生都可以算着玩的数学题，却困扰数学家近百年

一句话回答读书有没有用。文学有吕不韦一字千金；数学有百万悬赏只为一个答案。不读书，可就和这么富有诱惑力的报酬失之交臂了。

战国末期，野心勃勃的富商吕不韦想要更多优秀人才来投靠他，但当时天下才子都只知道四君子，吕不韦完全不在他们求职的筛选范围内。为了增加自己的声望，吕不韦的门客们建议他通过著书立说，这样只会成功，不会失败。于是，吕不韦就组织一大批学者，编著了《吕氏春秋》。他自以为这本书包罗古今，因而十分得意。但当时信息闭塞，仍然无人知道他的壮举。于是吕不韦把《吕氏春秋》挂在咸阳城门口，并且贴了一张告示，如果有人能够把《吕氏春秋》这本书任意增加或者删减一个字，而让文章变得更好，那么他就会赠送千金给这个一字之师。

漫画图片（图片来源网络），“一字千金”是一则来源于历史故事的成语，最早出自于《史记·吕不韦列传》

2000年，美国CLAY数学研究所曾经给出了百万悬赏，他们列出了一个难题清单，把数学领域困扰大家多年的猜想列举出来，每个价值一百万美金。总共7个猜想，其中第三个，庞加莱猜想被俄罗斯数学家格里戈里.佩雷尔曼所证明，2006年，数学家正式确认佩雷尔曼的确解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想本身很简单：任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

因为这里面有些专业术语，在这里我们就深入浅出，用简单了再简单地比喻，来试图解释一下这句话。就是想象一只永远吹不破地气球，当它在一个球形房子里被无限吹大时，最终气球的皮会和这个球形房子完全贴合，毫无缝隙。

数学家们的浪漫和逻辑这个事情，在想象中，那不是必须的吗？为什么还要去证实。但在数学世界里，一切都要讲究逻辑和推理，不是光靠语言描述。因此，连庞加莱本人都没能证明这个问题。

很多人认为数学猜想枯燥无聊并且毫无意义。的确，现实生活中穿衣吃饭，甚至用到乘除法的机会都很少，更何况是数学猜想，需要涉及到巨量的演算的。但数学猜想的证实结果可能不是最重要的，最精彩最有趣的反而是过程。就比如，在历代数学家醉心于证明庞加莱猜想的过程中，20世纪30年代的数学家怀特海就在求证的过程中发现了三维流形的一些特例，被称之为怀特海流形。另一位希腊数学家帕帕奇拉科普洛斯直到临死，仍然沉迷证明庞加莱猜想；他和他同时期的拓扑学家虽然没能完成证明，却意外地发现出了 一门新学科：低维拓扑学。

低维拓扑是拓扑学的一个分支。研究四维及其更低维的流形（图片来源网络）

1966年，美国著名数学家斯梅尔凭借对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，获得了数学领域的最高奖项之一，菲尔茨奖，就是那个被称为数学家的诺贝尔奖的那个。1983年，美国的弗里德曼证明出了四维空间中的庞加莱猜想，也获得了菲尔茨奖。

因此，这些看似难以理解的猜想，或者说看似是浪费时间的证明猜想的过程，事实上是人类思维的高度开发，这中间会发现什么新的奥秘，我们无从预判。也许，这就是各种数学猜想被众多爱好者甚至数学家沉迷，废寝忘食想要解决它的魅力之一吧。说起来，人类对于圆周率无穷无尽地计算，不也是延续了千百年了吗。

相比于其他比较深奥的题目，今天要提到的冰雹猜想，是刚上三年级的小朋友都可以尝试着玩的游戏。

之所以叫冰雹，是因为，无论提出多么庞大的数字，只要通过这种规律去计算，那么这个过程会呈现出急速直下的线性变化，而且最终，都会回到1。或者说最终回到“4-2-1”的循环。这个规律是，任何一个自然数N，如果它是偶数，那么就÷2；如果它是奇数，则×3再加1，也就是3N+1。然后下一个数依次类推地计算下去。

我们先来小小地热身一下。今年是2022年，为了不占用太多时间，我们先选择22。它是偶数，先÷2，得11，这是第一步。

接下来：

11×3+1=34

34÷2=17

17×3+1=52

52÷2=26

26÷2=13

13×3+1=40

40÷2=20

20÷2=10

10÷2=5

5×3+1=16

16÷2=8 8÷2=4 4÷2=2 2÷2=1

精彩的来了，1×3+1=4，从此进入4-2-1的循环。

如果我们选择任意的奇数开始也是一样的。在这里就不一一展开，感兴趣的朋友们可以自己在家试试，说不定下一个拿到悬赏的就是你。

庞加莱猜想从1904年被提出来，而直到2003年才被证实。冰雹猜想于上世纪70年代从美国各大名牌大学兴起，从此流行于数学界。不光是爱凑热闹的学生，无数教师、研究员和专家教授，都加入到验证它的行列中。

冰雹猜想概念图（图片来源网络）：任意写出一个正整数N，并且按照一定的规律进行变换，经过若干次最终为1。

在验证它的过程中，人们发现了树状图，也称之为冰雹树。

按照冰雹树的逻辑，树上的每一个数，当这个数的上一个数，是这个数的2倍数时，比如32和64，那么这一条分支的走向就是顺时针向上；但21和32没有倍数关系，那么走向就是完全相对的方向。

在计算过程中，英国剑桥大学的教授约翰.康威，是一位数学老顽童，他是一个在几何、数论、算法和量子力学等多个方面都具有卓越贡献的的天才。他在验证冰雹猜想的时候，就曾经找到了一个有趣的数字27。在冰雹猜想的规律下，27要经过77步计算达到数值最高峰9232，再经过32步计算才能回到终点1。而比如我们前面提到的，比它小不了多少的22，只需要15步计算就能到1。所以，冰雹猜想，并不能简单的以开始数目的大小来证明什么；而这种不能简单归类、需要多加挖掘的快感，才是激起大家兴趣的关键。

计算机开始普及后，人们已经对7×11×10这样庞大的数字进行了验证。最终仍然可以回到1。

尽管已经验算了这么大的数字了，仍然不能断定，在更大的数字中，不会出现特例。就像已经用公式推导出圆周率是无限的，但人们仍然在无限制地计算它，试图找出它的规律一样。

小学题目，却难倒了无数科学家也正因为如此，一个看似简单计算就能完成的猜想，最终成为了数学界最令人头疼的问题。著名科学家保罗.厄多斯甚至说，数学家的才智目前还不足以回答这个问题。保罗是一位匈牙利数学家，他的父母都是高中数学老师，家中有浓厚的数学研究氛围。他总计发表了接近1000多篇论文，一年之中要写至少1500多封关于数学问题的答信，他也是一个热衷于和各个国籍的数学家交流学术、合作发表论文的人；这种情况通常发生在他去不同的地方演讲，当地的数学家当然会抓住机会提出问题，寻求解答思路，而往往保罗就会给予完美的解决问题的方法，总能帮助对方。因此，他的名字就会常常出现在这些人发表出来的论文中。1983年，他和华裔美籍数学家陈省身平分了以色列颁发的沃尔夫奖10万美元的奖金。

正因为保罗的天才，让当时的数学家都打趣地说，如果没有和保罗联合发表过论文，就不能被称之为数学家。也因此，保罗对于冰雹猜想的判语，才会如此令人重视。这之后，甚至有人提议把冰雹猜想列为新一轮的费马问题。

曾经有一个啼笑皆非的段子，说美国人在为无法证明这个问题而沮丧时，甚至甩锅给俄罗斯人，认为这是狡猾的俄罗斯人提出来的诡计，为了让大家的注意力都集中在这样的计算中，而忽略了发展科技和其他学科。然而不管真相如何，这个计策竟然成功了一半，因为它不仅让美国人沉迷，世界上热爱数学的人都一头栽了进去。只不过大家都毫无进展罢了。

在干巴巴地计算中找不到规律时，一部分人开始另辟蹊径。他们通过对出现在冰雹猜想数列中的数字的首位进行统计，例如，自然数是6，那么在演算的数列中，分别得到的结果就是6、3、10、5、16、8、4、2、1。首位数是1的数字有3个，首位是2的有1个，首位是3的有一个，然后以此类推，当计算到足够庞大时，比如10亿或者100亿等等，会得出一个结论，那就是1在首位的数字占据了总数的三分之一，而数值越大的首位数，占的比重就会更少。

这个结果叫本福特定律，也叫本福特法则或者第一数字定律相符合。这为醉心于它的数学发烧友找到了一些安慰。但距离要证明它，还有很长的路要走。也许，有一个数会打破冰雹定律一定会回到1的规则，奔着无限而去，也或者有些数字在距离1很远的地方开始了自己的循环而永远不能到达1。

这些还是需要数学家去探索发现，而普通人利用冰雹猜想，大概就是验证自己的计算机的运算速度吧。噢，也许还可以提升一下家里小学生的计算准确能力。如果有试过的，可以回来评论区告诉我们结果噢。

标签： 数学历史故事

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